死理性派恋爱法：拒绝掉前面37%的人

游戏规则：假设MM 可以对$n$个男生的优劣进行排名，并且不到男生前来表白，MM也没法知道究竟谁才是the one，$n$个男生会以一定顺序表白。 MM一定会首先试试水深，先处几个玩玩，等到发现比以前都好的，和这个男生发展关系，游戏结束。 问题：MM应该先和多少个男生处着玩，才能以最大的概率最终遇到到那个最合适的the one 假设先拒绝掉前$k$个男生，$k$取小了，可能还没等the one出现，游戏就结束了；$k$取大了，可能the one很不幸的成炮灰被刷掉了。 对于某个固定的 $k$，如果最适合的人出现在了第 $i$ 个位置（$k < i \leq n$），要想让他有幸正好被 MM 选中，就必须得满足前 $i-1$ 个人中的最好的人在前 $k$ 个人里，这有 $k/(i-1)$ 的可能

$$\begin{eqnarray*} \Pr(k) = \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{i-1} &=& \frac{k}{n} \sum_{i=k+1}^n \frac{k}{i-1}\\ &=& \frac{k}{n} \left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots +\frac{1}{n-1} \right) \\ &=& \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{1}{\frac{k}{n}} + \frac{1}{\frac{k+1}{n}} + \cdots + \frac{1}{\frac{n-1}{n}} \right) \end{eqnarray*}$$

令$\frac{k}{n}=x,n \to +\infty$,上式可化为积分$x\int_x^1\frac{1}{t}\,dt = -x\ln x$. 求导, $\frac{k}{n}=x=\frac{1}{e}$